Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE=3，連接BD，過點E作EM∥BD，交BA的延長線于點M．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：EM是⊙O的切線；
（3）若弦DF與直徑AB相交于點P，當∠APD=45°時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OE，由弦DE垂直平分半徑OA，根據垂徑定理可求得OC與OE的關系，求得CE的長，然后根據直角三角形的性質，求得∠OEC=30°，根據三角函數的性質，則可求得⊙O的半徑；
（2）由垂徑定理，可得，根據在等圓或同圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，即可求得∠B的度數，即可求得∠EDB的度數，又由EM∥BD，可求得∠MED的度數，繼而求得∠MEO=90°，即可證得EM是⊙O的切線；
（3）由∠APD=45°，根據在等圓或同圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，即可求得∠EOF的度數，然后根據S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF，即可求得答案．
解答：（1）解：連接OE．
∵DE垂直平分半徑OA，
∴OC=OA
∵OA=OE，
∴OC=OE，CE=DE=，
∴∠OEC=30°，
∴OE==；

（2）證明：由（1）知：∠AOE=60°，，
∴∠B=∠AOE=30°，
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°，
∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切線；

（3）解：連接OF．
∵∠DPA=45°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠EOF=2∠EDF=90°，
∴S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF==π-．
點評：此題考查了垂徑定理，圓周角的性質，切線的判定，直角三角形的性質，以及平行線的性質等知識，此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．