Question

如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F是AB上的一點，EF⊥EC，且EF=EC．
（1）求證：△AEF≌△DCE．
（2）若DE=3cm，矩形ABCD的周長為30cm，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的每一個角都是直角求出∠A=∠D=90°，再根據同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角邊”證明即可；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得AE=CD，然后根據矩形的周長公式列式求解即可．
解答：（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
則∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
∵，
∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△AEF≌△DCE，
∴AE=CD，
矩形ABCD的周長=2（AD+CD）=2（AE+DE+CD）=2（AE+DE+AE）=2（2AE+DE），
∵DE=3cm，矩形ABCD的周長為30cm，
∴2（2AE+3）=30，
解得AE=6cm．
點評：本題考查了矩形的每一個角都是直角的性質，全等三角形的判定與性質，以及矩形的周長公式，根據同角的余角相等求出∠1=∠3是證明三角形全等的關鍵，也是本題的難點．