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(2005•淮安)如圖,已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A、B,點M是線段AB(中點除外)上的動點,以點M為圓心,OM的長為半徑作圓,與x軸、y軸分別相交于點C、D.

(1)設點M的橫坐標為a,則點C的坐標為______,點D的坐標為______(用含有a的代數(shù)式表示);
(2)求證:AC=BD;
(3)若過點D作直線AB的垂線,垂足為E.
①求證:AB=2ME;
②是否存在點M,使得AM=BE?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)直接利用垂徑定理可知C(2a,0),D(0,2a+8);
(2)本題可用直角坐標系中兩點間的距離公式分別求算出AC=-4-2a,BD=4-(2a+8)=-4-2a,所以AC=BD;
(3)①根據(jù)A(-4,0),B(0,4),D(0,2a+8),M(a,a+4),可知△BDE、△ABO均為等腰直角三角形,E的縱坐標為a+6,可求得ME=(yE-yM)=[a+6-(a+4)]=2,AB=4,所以AB=2ME;
②因為AM=(yM-yA)=(a+4),BE=|yE-yB|=|a+2|,AM=BE,結合條件-4<a<0,且a≠2,a=-3可知M(-3,1);當-2<a<0時,a不存在.
解答:解:(1)C(2a,0),D(0,2a+8);(2分)

(2)方法一:由題意得:A(-4,0),B(0,4),
-4<a<0,且a≠2,(3分)
①當2a+8<4,即-4<a<-2時,
AC=-4-2a,BD=4-(2a+8)=-4-2a,
∴AC=BD;(5分)
②當2a+8>4,即-2<a<0時,
同理可證:AC=BD,
綜上:AC=BD;(6分)

方法二:①當點D在B、O之間時,

連CD,
∵∠COD=90°
∴圓心M在CD上(3分)
過點D作DF∥AB
∵點M為CD中點
∴MA為△CDF中位線
∴AC=AF(4分)
又DF∥AB

而BO=AO
∴AF=BD
∴AC=BD;(5分)
②點D在點B上方時,同理可證:AC=BD;
綜上:AC=BD;(6分)

(3)方法一:
①A(-4,0),B(0,4),D(0,2a+8),M(a,a+4),△BDE、△ABO均為等腰直角三角形,
E的縱坐標為a+6,∴ME=(yE-yM)=[a+6-(a+4)]=2(7分)
AB=4(8分)
∴AB=2ME;(9分)
②AM=(yM-yA)=(a+4),BE=|yE-yB|=|a+2|,(10分)
∵AM=BE,
又-4<a<0,且a≠2,
①當-4<a<-2時,(a+4)=-(a+2)
∴a=-3,∴M(-3,1);(11分)
②當-2<a<0時,(a+4)=(a+2)
∴a不存在;(12分)

方法二:
①當點D在B、O之間時,作MP⊥x軸于點P、MQ⊥y軸于點Q,取AB中點N,
在Rt△MNO與Rt△DEM中,MO=MD
∠MON=45°-∠MOP
∠EMD=45°-∠DMQ=45°-∠OMQ=45°-∠MOP
∴∠MON=∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM                                                  (7分)
∴MN=ED=EB
∴AB=2NB=2(NE+EB)=2(NE+MN)=2ME                                  (8分)
當點D在點B上方時,同理可證;(9分)
②當點D在B、O之間時,
由①得MN=EB
∴AM=NE                                                             (10分)
若AM=BE,則AM=MN=NE=EB=AB=
∴M(-3,1)(11分)
點D在點B上方時,不存在.                                              (12分)
注:(2)、(3)兩問凡需要討論而沒有討論的,每漏討論一次扣(1分).
點評:主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用.解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度,再結合具體圖形的性質求解.
練習冊系列答案
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