Question

【題目】如圖（1），平面直角坐標系中，一次函數y=﹣x+1的圖象與y軸交于點A，點B是第二象限一次函數y=﹣x+1的圖象上一點，且S△OAB=3，點C的坐標為（﹣2，﹣3）．

（1）求A，B的坐標；
（2）如圖（1）若點D是線段BC上一點，且三角形ABD的面積是三角形ABC的一半，求△ABC的面積和點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，如圖（2），將線段AC沿直線AB平移，點A的對應點為A1 ， 點C的對應點為C1 ， 連接A1D，C1D，當△A1C1D直角三角形時，求A1的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函數y=﹣x+1的圖象與y軸交于點A，

∴當x=0時，y=1，

∴點A的坐標為（0，1），

∴OA=1

∵S△OAB=3，

∴ |xB|OA=3，

∴|xB|=6，

∵點B是第二象限一次函數y=﹣x+1的圖象上一點，

∴B的橫坐標為：﹣6，

則y=﹣（﹣6）+1=7，

∴點B的坐標為：（﹣6，7）

（2）解：如圖1，過點B作BE⊥x軸，過點C作CF⊥y軸于點F，交BE于點E，

∵點C的坐標為（﹣2，﹣3），

∴BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，

∴S△ABC=S梯形ABEF﹣S△ACF﹣S△BEC= ×（4+10）×6﹣ ×4×2﹣ ×10×4=18；

∵點D是線段BC上一點，且三角形ABD的面積是三角形ABC的一半，

∴點D是BC的中點，

∴點D的坐標為：（﹣4，2）

（3）解：如圖2，∵A（0，1），C（﹣2，﹣3），

∴由平移可知：點C是點A向左平移2個單位，再向下平移4個單位所得，

設A1（x，﹣x+1），則C1（x﹣2，﹣x+1﹣4），即（x﹣2，﹣x﹣3），

當△A1C1D直角三角形時，分三種情況：

①當∠DA1C1=90°時，如圖2，由勾股定理得： = ，

∴（x+4）2+（﹣x+1﹣2）2+（x﹣2﹣x）2+（﹣x﹣3+x﹣1）2=（x﹣2+4）2+（﹣x﹣3﹣2）2

解得：x=2，

∴A1（2，﹣1）；

②當∠A1C1D=90°時，如圖3，由勾股定理得： ，

∴（x﹣2﹣x）2+（﹣x﹣3+x﹣1）2+（x﹣2+4）2+（﹣x﹣3﹣2）2=（x+4）2+（﹣x+1﹣2）2，

解得：x=﹣8，

∴A1（﹣8，9）；

③當∠A1DC1=90°時，如圖4和圖5，由勾股定理得：A1D2+C1D2=A1C12，

∴（x+4）2+（﹣x+1﹣2）2+（x﹣2+4）2+（﹣x﹣3﹣2）2=（x﹣2﹣x）2+（﹣x﹣3+x﹣1）2，

2x2+12x+13=0，

解得：x= ，

∴A1（ ， ）或（ ， ）；

綜上所述，點A1的坐標為：（2，﹣1）或（﹣8，9）或（ ， ）或（ ， ）

【解析】①一次函數y=﹣x+1的圖象與y軸交于點A，求出點A的坐標為（0，1），點B是第二象限一次函數y=﹣x+1的圖象上一點，得到B的橫坐標為﹣6，求出點B的坐標為：（﹣6，7）；②過點B作BE⊥x軸，過點C作CF⊥y軸于點F，交BE于點E，點C的坐標為（﹣2，﹣3），求出BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，S△ABC=S梯形ABEF﹣S△ACF﹣S△BEC=18，求出點D的坐標為：（﹣4，2）；③由平移可知：點C是點A向左平移2個單位，再向下平移4個單位所得，當△A1C1D直角三角形時，分三種情況當∠DA1C1=90°時，如圖2，由勾股定理得： A 1 D 2 + A 1 C 1 2 = D C 1 2 ，求出A1（2，﹣1）；當∠A1C1D=90°時，由勾股定理得x=﹣8，得到A1（﹣8，9）；當∠A1DC1=90°時，由勾股定理求出x的值，得到A1的坐標.