Question

【題目】已知過點A（0，1）的橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1、F2 ， B為橢圓上的任意一點，且 |BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差數列．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l：y=k（x+2）交橢圓于P，Q兩點，若點A始終在以PQ為直徑的圓外，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ |BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差數列，

∴2|F1F2|= |BF1|+ |BF2|= （|BF1|+|BF2|），

由橢圓定義得22c= 2a，

∴c= a；

又橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點A（0，1），

∴b=1；

∴c2=a2﹣b2=a2﹣1= a2，

解得a=2，c= ；

∴橢圓C的標準方程為 +y2=1；

（2）

解：設P（x1，y1），Q（x2，y2）

聯立方程 ，消去y得：

（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；

依題意直線l：y=k（x+2）恒過點（﹣2，0），此點為橢圓的左頂點，

∴x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①

由方程的根與系數關系可得，x1+x2= ；②

可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k；③

由①②③，解得x2= ，y2= ；

由點A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，即 ＞0；

由 =（﹣2，﹣1）， =（x2，y2﹣1），

∴ =﹣2x2﹣y2+1＞0；

即 + ﹣1＜0，

整理得，20k2﹣4k﹣3＞0，

解得：k＜﹣ 或k＞ ，

∴實數k的取值范圍是k＜﹣ 或k＞

【解析】（1）由題意，利用等差數列和橢圓的定義求出a、c的關系，再根據橢圓C過點A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標準方程；（2）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），根據題意知x1=﹣2，y1=0；聯立方程 消去y，由方程的根與系數關系求得x2、y2 ， 由點A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角， ＞0；由此列不等式求出k的取值范圍．