Question

如圖，拋物線y=-x²+x+2與x軸交于C、A兩點，與y軸交于點B，OB=2．點O關于直線AB的對稱點為D，E為線段AB的中點．
（1）分別求出點A、點B的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若反比例函數y=的圖象過點D，求k值；
（4）兩動點P、Q同時從點A出發，分別沿AB、AO方向向B、O移動，點P每秒移動1個單位，點Q每秒移動個單位，設△POQ的面積為S，移動時間為t，問：S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定拋物線與y軸的交點坐標（即B點坐標）；令y=0，能確定拋物線與x軸的交點坐標（即A、C的坐標）．
（2）由（1）的結果，利用待定系數法可求出直線AB的解析式．
（3）欲求出反比例函數的解析式，需要先得到D點的坐標．已知A、B的坐標，易判斷出△OAB是含特殊角的直角三角形，結合O、D關于直線AB對稱，可得出OD的長，結合∠DOA的讀數，即可得到D點的坐標，由此得解．
（4）首先用t列出AQ、AP的表達式，進而可得到P到x軸的距離，以OQ為底、P到x軸的距離為高，可得到關于S、t的函數關系式，根據函數的性質即可得到S的最大值及此時t的值．
解答：解：（1）∵點A、C均在X軸上，
令y=0，即-x²+x+2=0；
解得 x₁=-，x₂=2．
∴C（-，0）、A（2，0）．
令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．
綜上，A（2，0）、B（0，2）．

（2）令直線AB的解析式為y=k₁x+2，
∵點A（2，0）在直線上，
∴0=2k₁+2
∴k₁=-
∴直線AB的解析式為y=-x+2．

（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D與O點關于AB對稱，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2
∴D點的橫坐標為，縱坐標為3，即D（，3）．
因為y=過點D，
∴3=，
∴k=3．

（4）∵AP=t，AQ=t，P到x軸的距離：AP•sin30°=t，OQ=OA-AQ=2-t；
∴S_△OPQ=•（2-t）•t=-（t-2）²+；
依題意有，
解得0＜t≤4．
∴當t=2時，S有最大值為．
點評：該題考查的知識點有：函數解析式的確定、二次函數的性質、圖形面積的解法等，在解答動點函數問題時，一定要注意未知數的取值范圍．