Question

（2004•金華）已知：四邊形ABCD為圓內接矩形，過點D作圓的切線DP，交BA的延長線于點P，且PD=15，PA=9．
（1）求AD與AB的長；
（2）如果點E為PD的一個動點（不與運動至P，D），過點E作直線EF，交PB于點F，并將四邊形PBCD的周長平分，記△PEF的面積為y，PE的長為x，請求出y關于x的函數關系式；
（3）如果點E為折線DCB上一個動點（不與運動至D，B），過點E作直線EF交PB于點F，試猜想直線EF能否將四邊形PBCD的周長和面積同時平分？若能，請求出BF的長．若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形是圓內接矩形可知，∠PAD=90°．根據勾股定理便可求出AD的長．
因為PD是⊙O的切線，所以根據切線的性質和直徑所對的圓周角是90°構造直角三角形，應用三角函數即可求出AD與AB的長；
（2）因為PE=x，所以根據EN=PE•sin∠P=x．建立起EN和x之間的關系，利用三角形的面積公式求出y關于x的函數關系式；
（3）過O作直線EF，利用矩形的性質，S_△ODE=S_△OBF，S_△BCD=S_△ABD，可推出直線EF所割矩形PBCD面積相等．
由△ODE≌△OBF可得DE=BF，又因為AD=BC，AB=CD，所以可計算出直線EF所割矩形ABCD周長相等．
解答：解：（1）連接BD．（如圖1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥PB．
∴∠PAD=∠BAD=90°．△PAD與△ABD都是直角三角形．
∵PD=15，PA=9，
∴AD=12．
∵DP切⊙O于D，
∴BD⊥DP．
∴∠PDB=90°．
∵∠P+∠ADP=∠ADP+∠ADB=90°，
∴∠P=∠ADB．
∵tan∠P===，
∴tan∠ADB==．
∴AB=AD•tan∠ADB==16；

（2）（如圖2）
∵過點E作直線EF，交PB于點F，并將四邊形PBCD的周長平分，
AB=16，AD=12，
∴四邊形PBCD的周長為：15+16+12+16+9=68，
∴PE+PF=34，
∵PE=x，
∴PF=34-x，
EN=PE•sin∠P=x．
設S_△PEF=y，
∴y=EN•PF=×x•（34-x）=-x²+x（0＜x＜15）；

（3）答：不可以．
證明：在折線DCB上任取一點E，連接EO并延長交AB于F．（如圖3）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴∠ODE=∠OBF．
∵OD=OB=r，∠DOE=∠FOB，
∴△ODE≌△OBF．
∴S_△ODE=S_△OBF
∴S_梯形ADEF=S_{四邊形ADOF}+S_△ODE=S_{四邊形ADOF}+S_△OBF=S_△ABD
同理，S_梯形BCEF=S_△BCD
∵S_△BCD=S_△ABD
∴直線EF所割矩形PBCD面積相等．
由△ODE≌△OBF可得DE=BF．
∴DE+AD+AF=BF+AD+AF=AD+AB，
BF+BC+CE=DE+BC+CE=BC+CD．
∵AD=BC，AB=CD，
∴直線EF所割矩形PBCD周長相等．
∵這樣的E點無數
而直線F″E″不能平分三角形DPA的周長和面積，
∴不存在BF（如圖4）．
點評：此題不僅考查了求圓的弦長等基礎知識，還考查了利用面積建立函數關系式、探索與圓相關的四邊形的周長和面積的等量關系等內容，有一定的開放性，旨在考查同學們的探索發現能力．