Question

如圖，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始沿線段BA以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似？
（3）當t為何值時，△APQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB利用其對應邊成比例解t．②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB利用其對應邊成比例解得t．
（3）過點O作QE⊥AO于點E，利用t表示出△APQ的面積，利用函數的性質即可求解．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得，
解得，
所以，直線AB的解析式為y=-x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒），
②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒）；
∴當t為秒或秒時，△APQ與△AOB相似；

（3）過點O作QE⊥AO于點E
∵sin∠BAO===
∴QE=AQ•sin∠BAO=（10-2t）=8-t
∴S_△APQ=AP•QE=t（8-t）=-t2+4t=-（t-）2+5．
∴當t=時，△APQ的面積最大，最大面積是5個平方單位．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，待定系數法求一次函數值，解直角三角形等知識點，有一定的拔高難度，屬于難題．