Question

【題目】如圖，已知直線與相離，于點，,與相交于點，與相切于點，的延長線交直線于點.

（1）試判斷線段與的數量關系，并說明理由；

（2）若，求的半徑和線段的長；

（3）若在上存在點，使是以為底邊的等腰三角形，求的半徑的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），理由詳見解析；（2）的半徑為3，線段的長為；（3）.

【解析】

（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；
（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據AB=AC推出52-r2=（）2-（5-r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可；
（3）根據已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，再根據相離得出r＜5，即可得出答案．

解：（1），理由如下：

連接.

∵切于，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）延長交于，連接，

設圓半徑為，則，，

則，

，

∴，

解得：，

∴，

∵是直徑，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

解得：.

∴的半徑為3，線段的長為；

（3）作出線段的垂直平分線，作，

則可以推出

又∵圓與直線有交點，

∴，

，

，

，

∴，

又∵圓與直線相離，

∴，

即.