Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點D為△ABC內一點，且DB=DC，∠DCB=30°，點E為BD延長線上一點，且AE=AB．

1.（1）求∠ADE的度數；

2.（2）若點M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC．

 

Answer 1

 

1.解：（1）如圖4．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠ACB==75°．

∵DB=DC，∠DCB=30°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．   ----------------1分

∵AB=AC，DB=DC，

∴AD所在直線垂直平分BC．

∴AD平分∠BAC．

∴∠2=∠BAC==15°．   -----------------2分

∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．   -----------3分

2.（2）證法一：取BE的中點N，連接AN．（如圖5）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，

∴△ADM為等邊三角形．   ----------4分

∵△ABE中，AB=AE，N為BE的中點，

∴BN=NE，且AN⊥BE．

∴DN=NM．   ----------------5分

∴BN－DN=NE－NM，

即 BD=ME．

∵DB=DC，

∴ME =DC．  ------------6分

 

證法二：如圖6．

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，

∴△ADM為等邊三角形．   ----------4分

∴∠3=60°．

∵AE=AB，

∴∠E=∠1=45°．

∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．

∴∠2=∠4．

在△ABD和△AEM中，

             ∠1 =∠E，

             AB=AE，

             ∠2 =∠4，

∴△ABD≌△AEM．   -------------5分

∴BD =EM．

∵DB =DC，

∴ME = DC．   --------------------6分

解析:略