Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（﹣4，0），點P在射線AB上運動，連結CP與y軸交于點D，連結BD．過P，D，B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交⊙Q于點F，連結EF，BF．

（1）求直線AB的函數解析式；

（2）當點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時．

①求證：∠BDE=∠ADP；

②設DE=x，DF=y．請求出y關于x的函數解析式；

（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標：如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=－1，

∴直線AB的函數解析式為。

（2）①證明：由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD（SAS）。∴∠BOD=∠CDO。

∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP。

②連結PE，

∵∠ADP是△DPE的一個外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE。

∵∠BDE是△ABD的一個外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB。

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB。

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°。∴∠DPE=45°�！唷螪FE=∠DPE=45°。

∵DF是⊙Q的直徑，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形。

∴DF=DE，即y=x。

（3）當BD：BF=2：1時，過點F作FH⊥OB于點H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH.

又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB.

∴�！郌H=2，OD=2BH.

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFH是矩形。∴OE=FH=2�！郋F=OH=4－OD。

∵DE=EF，∴2＋OD=4－OD，解得：OD=，∴點D的坐標為（0，）。

∴直線CD的解析式為。

由得：。

∴點P的坐標為（2，2）。

當BD：BF=1：2時，

連結EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°。

∴△DEF是等腰直角三角形。

過點F作FG⊥OB于點G，同理可得：△BOD∽△FGB，

∴�！郌G=8，OD=BG。

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四邊形OEFG是矩形。

∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD。

∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，解得OD=。∴點D的坐標為（0，）。

∴直線CD的解析式為：。

由得：。

∴點P的坐標為（8，－4）。

綜上所述，點P的坐標為（2，2）或（8，－4）。

【解析】（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可。

（2）①證出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根據∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP。

②連結PE，由∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=DE，即y=x。

（3）分BD：BF=2：1和BD：BF=1：2兩種情況討論即可。