Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分線交BC于E，連接DE．
（1）說明點D在△ABE的外接圓上；
（2）若∠AED=∠CED，試判斷直線CD與△ABE外接圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中條件AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO可證明△AOB≌△AOD，所以OD=OB，可證點D在△ABE的外接圓上；
（2）根據∠C=90°，可得∠CED+∠CDE=90°；利用∠ODE=∠DEC，可知∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，即CD與△ABE的外接圓相切．
解答：證明：（1）證法一：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圓的直徑．
取AE的中點O，則O為圓心，連接OB、OD．
在△AOB和△AOD中，
，
∴△AOB≌△AOD．
∴OD=OB．
∴點D在△ABE的外接圓上．

證法二：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圓的直徑．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠ADE=∠B=90°．
取AE的中點O，則O為圓心，連接OD，則OD=AE．
∴點D在△ABE的外接圓上．

（2）證法一：直線CD與△ABE的外接圓相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
∴∠CED+∠CDE=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．
∴CD與△ABE的外接圓相切．

證法二：直線CD與△ABE的外接圓相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴OD∥BC．
∴∠ODC=90°．
∴CD與△ABE的外接圓相切．
點評：主要考查了直線與圓的位置關系和點與圓的位置關系．利用三角形全等的方法來證明相等的線段和相等的角是常用的方法之一，要會靈活運用．
并能根據圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．