Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）(m＞0)，線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的二次函數圖像經過點B、D．

【小題1】請直接寫出用m表示點A、D的坐標
【小題2】求這個二次函數的解析式；
【小題3】點Q為二次函數圖像上點P至點B之間的一點，連結PQ、BQ，求四邊形ABQP面積的最大值．

Answer 1

【小題1】A(3－m，0)，D(0，m－3 )
【小題2】設以P（1，0）為頂點的拋物線的解析式為y＝a(x－1)²(a≠0)
∵拋物線過點B、D，
∴   解得 …………4分
所以二次函數的解析式為y＝(x－1)²，
即：y＝x²－2x＋1 …………5分
【小題3】設點Q的坐標為(x，x²－2 x＋1)，顯然1＜x＜3 …6分
連結BP，過點Q作QH⊥x軸，交BP于點H.

∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4）
∴AP＝2，BC＝3，PC＝2
由P（1，0），B（3，4）求得直線BP的解析式為y＝2x－2
∵QH⊥x軸，點Q的坐標為(x，x²－2 x＋1)
∴點H的橫坐標為x，∴點H的坐標為(x，2x－2)
∴QH＝2x－2－(x²－2x＋1)＝－x²＋４x－3 …………7分
∴四邊形ABQP面積S＝S_△APB＋S_△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC
＝×2×4＋×(－x²＋４x－３)×2
＝－x²＋４x＋1＝－(x－2)²＋5 …………9分
∵1＜x＜3
∴當x＝2時，S取得最大值為5， …………10分
即當點Q的坐標為(2，1)時，四邊形ABQP面積的最大值為5

解析