Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），拋物線對稱軸與軸相交于點M．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；　　　　

（2）設點P為拋物線（）上的一點，若以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續的正整數，請你直接寫出點P的坐標；　　　　　　　　　

（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．　　　　　　　

Answer 1

解：（1）根據已知條件可設拋物線的解析式為，

        　　把點A（0，4）代入上式得：，

       　　∴，

       　　∴拋物線的對稱軸是：．

（2）由已知，可求得P（6，4）．

提示：由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點P的坐標中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，在Rt△AOM中，，因為拋物線對稱軸過點M，所以在拋物線的圖象上有關于點A的對稱點與M的距離為5，即PM=5，此時點P橫坐標為6，即AP=6；故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續的正整數3、4、5、6成立，

即P（6，4）．

（注：如果考生直接寫出答案P（６，４），給滿分2分，但考生答案錯誤，解答過程分析合理可酌情給1分）

⑶法一：在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．

設N點的橫坐標為，此時點N（，過點N作NG∥軸交AC于G；由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：；把代入得：，則G，

此時：NG=-（）， 

=．       

∴

∴當時，△CAN面積的最大值為，

由，得：，∴N（， -3）．

法二：提示：過點N作軸的平行線交軸于點E，作CF⊥EN于點F，則

（再設出點N的坐標，同樣可求,余下過程略）