Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，在下列代數式中（1）a+b+c＞0；（2）-4a＜b＜-2a（3）abc＞0；（4）5a-b+2c＜0； 其中正確的個數為（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由拋物線開口向上得到a大于0，再由對稱軸在y軸右側得到a與b異號，即b小于0，由拋物線與y軸交于正半軸，得到c大于0，可得出abc的符合，對于（3）作出判斷；由x=1時對應的函數值小于0，將x=1代入二次函數解析式得到a+b+c小于0，（1）錯誤；根據對稱軸在1和2之間，利用對稱軸公式列出不等式，由a大于0，得到-2a小于0，在不等式兩邊同時乘以-2a，不等號方向改變，可得出不等式，對（2）作出判斷；由x=-1時對應的函數值大于0，將x=-1代入二次函數解析式得到a-b+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出a-b+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正確，綜上，即可得到正確的個數．
解答：解：由圖形可知：拋物線開口向上，與y軸交點在正半軸，
∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）錯誤；
又x=1時，對應的函數值小于0，故將x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）錯誤；
∵對稱軸在1和2之間，
∴1＜-＜2，又a＞0，
∴在不等式左右兩邊都乘以-2a得：-2a＞b＞-4a，故（2）正確；
又x=-1時，對應的函數值大于0，故將x=1代入得：a-b+c＞0，
又a＞0，即4a＞0，c＞0，
∴5a-b+2c=（a-b+c）+4a+c＞0，故（4）錯誤，
綜上，正確的有1個，為選項（2）．
故選A
點評：此題考查了二次函數圖象與系數的關系，利用了數形結合的思想，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線的開口決定；b的符號由a及對稱軸的位置確定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置確定，此外還有注意利用特殊點1，-1及2對應函數值的正負來解決問題．