Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點P從B出發沿BA向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點，點P運動的同時，點Q從A出發沿AC向C運動，速度為每秒2cm，當點Q到達頂點C時，P，Q同時停止運動，設P，Q兩點運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，PQ∥BC？
（2）設四邊形PQCB的面積為y，求y關于t的函數關系式；
（3）四邊形PQCB面積能否是△ABC面積的？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（4）當t為何值時，△AEQ為等腰三角形？（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】分析：（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根據平行線分線段成比例定理得出=，列出比例式=，求解即可；
（2）根據S_{四邊形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=AC•BC-AP•AQ•sinA，即可得出y關于t的函數關系式；
（3）根據四邊形PQCB面積是△ABC面積的，列出方程t²-8t+24=×24，解方程即可；
（4）△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一種情況都可以列出關于t的方程，解方程即可．
解答：解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm．
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=10-t．
∵PQ∥BC，
∴=，
∴=，
解得t=；

（2）∵S_{四邊形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=AC•BC-AP•AQ•sinA
∴y=×6×8-×（10-2t）•2t•
=24-t（10-2t）
=t²-8t+24，
即y關于t的函數關系式為y=t²-8t+24；

（3）四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，理由如下：
由題意，得t²-8t+24=×24，
整理，得t²-10t+12=0，
解得t₁=5-，t₂=5+（不合題意舍去）．
故四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，此時t的值為5-；

（4）△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：
①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=；
②如果EA=EQ，那么（10-2t）×=t，解得t=；
③如果QA=QE，那么2t×=5-t，解得t=．
故當t為秒秒秒時，△AEQ為等腰三角形．
點評：本題考查了勾股定理，平行線的判定，四邊形的面積，等腰三角形的判定，中心對稱的性質，綜合性較強，難度適中．運用分類討論、方程思想是解題的關鍵．