Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜邊AC的垂直平分線交BC于D點，交AC于E點，連接BE．
（1）直線BE是否與△DEC的外接圓⊙O相切？為什么？
（2）當AB=3時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線BE是與△DEC的外接圓⊙O相切，連接OE，要證明直線BE與△DEC的外接圓⊙O相切，即轉化為證明∠BEC=90°即可；
（2）求圖中陰影部分的面積即轉化為：S_陰影=S_半圓-S_△DEC，所以利用圓的面積公式和三角形的面積公式分別求出其面積作差即可．
解答：解：（1）是直線BE是否與△DEC的外接圓⊙O相切，理由如下：
連接OE．
∵DE 垂直平分AC，
∴∠DEC=90°．
∴DC為△DEC外接圓的直徑．
∴DC的中點即為圓心O．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點E斜邊AC的中點，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ACB=30°．
∵∠EDC=90°-∠ACB=60°，
∵OE=OD．
∴∠EDC=∠EOD=60°．
∴∠EBC+∠EOD=30°+60°=90°．
∴∠BEO=90°．
∴BE⊥EO．
又∵OE為圓O的半徑，
∴BE是圓O的切線；

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=6．
∴EC=3．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠ACB=30°，
∴DE=．
∴，
∵S_半圓==．
∴S_陰影=S_半圓-S_△DEC=．
點評：本題考查了圓切線的判定和性質、直角三角形的性質以及圓的面積公式和三角形的面積公式和求陰影部分的面積．