Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標是（0，3），點A的坐標是（8，0），點B的坐標是（4，3），P、Q分別是x、y軸上的兩個動點，點P從C出發，在線段CB上以1個單位/秒的速度向點B移動，點Q從A出發，在線段AO上以2個單位/秒的速度向點O 移動．設點P、Q同時出發，運動的時間為t（秒）
（1）當t為何值時，PQ平分四邊形OABC的面積？
（2）當t為何值時，PQ⊥OB？
（3）當t為何值時，PQ∥AB？
（4）當t為何值時，△OPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：點C的坐標是（0，3），點B的坐標是（4，3），則一定有BC∥OA．則四邊形ABCO是直角梯形．
（1）PQ平分四邊形OABC的面積，則四邊形OQPC的面積即可求解，且這個四邊形的直角梯形或矩形，據此即可得到一個關于t的方程，即可求解；
（2）△PMQ∽△BCO時，PQ⊥OB，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得t的值；
（3）當PQ∥AB時，四邊形ABPQ是平行四邊形，即BP=AQ，據此即可求解；
（4）當OP=PQ時，作PF⊥OA于F，則OF=QF，根據勾股定理即可求解．
解答：解：（1）由題意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
∴梯形OABC的面積=×（4+8）×3=18
當PQ平分四邊形OABC的面積時×（t+8-2t）×3=9
解得t=2
即當t=2時，PQ平分四邊形OABC的面積（3分）

（2）當PQ⊥OB時，作PM⊥OA于點M，易證△PMQ∽△BCO
∴=，
∴=
解得：t=
即：當t=時，PQ⊥OB．（6分）

（3）當PQ∥AB時，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t=
即當t=時，PQ∥AB（9分）

（4）當OP=PQ時，作PF⊥OA于F
則OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ時，
3²+t²=（8-2t）²
解得t₁=（不合題意，舍去）
t₂=
∴t=
當QO=QP時
3²+（8-3t）²=（8-2t）²
解得t₁=
t₂=．
綜上所述：當t=2或t=或t=或t=時，△OPQ是等腰三角形．
點評：本題主要考查了平行四邊形，相似三角形的性質，勾股定理的應用，正確理解平行四邊形的判定方法，從而把問題轉化為方程問題是解題的關鍵．