Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．點M從點B開始，以每秒2個單位長的速度向點C運動；點N從點D開始，以每秒1個單位長的速度向點A運動，若點M，N同時開始運動，點M與點C不重合，運動時間為t（t＞0）．過點N作NP垂直于BC，交BC于點P，交AC于點Q，連接MQ．
（1）用含t的代數式表示QP的長；
（2）設△CMQ的面積為S，求出S與t的函數關系式；
（3）求出t為何值時，△CMQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AE⊥BC，交BC于點E，在△ABE中，由等腰梯形性質得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示線段PQ；
（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面積了；
（3）△CMQ為等腰三角形，有三種可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，針對每一種情況，根據圖形特征，線段長度，運用勾股定理解答．
解答：解：（1）過點A作AE⊥BC，交BC于點E，如圖，
由AD=2，BC=4，AB=CD=，得
AE=2．（1分）
∵ND=t，∴PC=1+t．
∴．即．
∴．（2分）

（2）∵點M以每秒2個單位長運動，
∴BM=2t，CM=4-2t．（3分）
∴S_△CMQ==．
即S=．（4分）

（3）①若QM=QC，
∵QP⊥MC，
∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，∴t=．（5分）
②若CQ=CM，
∵CQ²=CP²+PQ²=，
∴CQ=．
∵CM=4-2t，
∴=4-2t．
∴．（6分）
③若MQ=MC，
∵MQ²=MP²+PQ²=，
∴=（4-2t）²，即．
解得t=或t=-1（舍去）．
∴t=．（7分）
∴當t的值為，，時，
△CMQ為等腰三角形．
點評：本題考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性質，勾股定理的運用，分類討論的數學思想，有較強的綜合性．