Question

如圖，二次函數y=x²＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為

（－3，0），經過B點的直線交拋物線于點D（－2，－3）.

（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；

（2）過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側）作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=x²＋2x－3 ， y=x－1 (2) 存在實數a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形

【解析】解：（1）將A（－3，0），D(－2，－3)的坐標代入y=x²＋bx＋c得，

，解得：。

∴拋物線的解析式為y=x²＋2x－3 。

由x²＋2x－3=0，得：x₁=－3，x₂=1，∴B的坐標是（1，0）。

設直線BD的解析式為y=kx＋b，則

，解得：。

∴直線BD的解析式為y=x－1。

          

（2）∵直線BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,

∴直線EF的解析式為：y=x－a。

若四邊形BDFE是平行四邊形，則DF∥x軸。

∴D、F兩點的縱坐標相等，即點F的縱坐標為－3。

由得y²＋（2a＋1）y＋a²＋2a－3=0，解得：y= 。

令=－3，解得：a₁=1，a₂=3。

當a=1時，E點的坐標（1，0），這與B點重合，舍去；

∴當a=3時，E點的坐標（3，0），符合題意。

∴存在實數a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形。

（1）把A、D兩點的坐標代入二次函數解析式可得二次函數解析式中b，c的值，讓二次函數的y等于0求得拋物線與x軸的交點B，把B、D兩點代入一次函數解析式可得直線BD的解析式。

（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函數解析式組成方程組，得到含y的一元二次方程，進而根據y=－3求得合適的a的值即可。