Question

已知拋物線的頂點是C（0，a）（a＞0，a為常數），并經過點（2a，2a），點D（0，2a）為一定點．
（1）求含有常數a的拋物線的解析式；
（2）設點P是拋物線上任意一點，過P作PH丄x軸．垂足是H，求證：PD=PH；
（3）設過原點O的直線l與拋物線在笫一象限相交于A、B兩點，若DA=2DB．且S_△ABD=4．求a的值．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=kx²+a，
∵經過點（2a，2a），
4a²k+a=2a，
∴k=，
則拋物線的解析式為：y=x²+a；

（2）連接PD，設拋物線上一點P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2a）²+x²=y²-4ay+4a²+x²，
∵y=x²+a，
∴x²=4a×（y-a）=4ay-4a²，
∴PD²=y²-4ay+4a²+4ay-4a²=y²=PH²，
∴PD=PH，

（3）過B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的結論：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中點，
∵C是OD的中點，
連接BC，∴BC===BE=DB，
過B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+=，
∴=x²+a，
∴x²=2a²，
∵x＞0，
∴x=a，
∴B（a，），AO=2OB，
∴S_△OBD=S_△ABD=4，
∴×2a×a=4，
∴a2=4，
∵a＞0，
∴a=2，
分析：（1）根據拋物線的圖象假設出解析式為y=kx²+a，將經過點（2a，2a），代入求出即可；
（2）根據勾股定理得出PD²=DG²+PG²，進而求出PD=PH；
（3）利用（2）中結論得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中點，進而得出S_△OBD=S_△ABD=4，即可得出a的值．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理的應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．