Question

（1997•四川）已知：如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，C是弧AB的中點，弦CE∥BD，交AB于點F．求證：AE•FP=AF•CP．

Answer 1

分析：由CE與BD平行，利用平行弦所夾的弧相等得到弧BC=弧DE，由C為弧AB的中點，得到一對弧相等，等量代換得到弧AC與弧DE相等，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對角相等的兩三角形相似，得到三角形AEF與三角形PCF相似，由相似得比例，變形后即可得證．

解答：證明：∵弦CE∥BD，
∴

BC

=

DE

，
∵

AC

=

BC

，
∴

AC

=

DE

，
∴∠E=∠C，
又∵∠AFE=∠PFC，
∴△AEF∽△PCF，
∴

AE

CP

=

AF

PF

∴AE•FP=AF•CP．

點評：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，以及圓心角、弦、弧之間的關系，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．