Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點D．
（1）求點A、B、D的坐標；
（2）若點C在該拋物線上，使△ABD≌△BAC．求點C的坐標，及直線AC的函數表達式；
（3）P是（2）中線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標，令x=0，可求得點D的坐標．
（2）若△ABD≌△BAC，則C、D必關于拋物線的對稱軸對此，由此可得C點的坐標；進而可利用待定系數法求得直線AC的函數解析式．
（3）設出點P的橫坐標，根據直線AC和拋物線的解析式，即可表示出P、E的縱坐標，從而得到關于PE的長和P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可得到PE的最大長度及對應的P點坐標．
解答：解：（1）令y=0，
解得x₁=-1或x₂=3，（1分）
∴A的坐標為：A（-1，0），B的坐標為：B（3，0），（2分）
令x=0，解得y=-3；
∴D的坐標為：D（0，-3）．（3分）

（2）根據拋物線的對稱性可得C的坐標為：（2，-3），（5分）
設AC的解析式為：y=kx+b，
將A（-1，0），C（2，-3）代入可求得k=-1，b=-1；
∴直線AC的函數解析式是y=-x-1．（8分）

（3）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），（注：x的范圍不寫不扣分）
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），（9分）
E（x，x²-2x-3）；（10分）
∵P點在E點的上方，PE=-x-1-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-）²+；（12分）
∴當x=時，PE的最大值=．（14分）
點評：此題主要考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、用待定系數法確定函數解析式的方法以及二次函數最值的應用等知識，難度適中．