Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．
（1）求證：∠AOC=2∠ACD；
（2）若AB=12，AD=2，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，可得∠ACD+∠ACO=90°，∠BAC+∠B=90°，繼而可證得∠AOC=2∠B=2∠ACD；
（2）易證得△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，可求得AC的長．
解答：（1）證明：連接BC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AOC=2∠B=2∠ACD；

（2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AB=12，AD=2，
∴AC==2．
點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．