Question

如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDEF是內接正方形．
（1）求證：OC=OF；
（2）在正方形CDEF的右側有一正方形FGHK，點G在AB上，H在半圓上，K在EF上．若正方形CDEF的邊為2，求正方形FGHK的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，OE，則OD=OE，求證：OC=OF，可以轉化為求證Rt△DOC≌Rt△EOF．
（2）連接OH，在Rt△OEF中勾股定理得到OE，然后在Rt△OHG中根據勾股定理，得到關于設正方形FGHK的邊長為x的方程，就可以求出x的值．得到正方形的面積．
解答：（1）證明：連接OD，OE，則OD=OE，
∵四邊形CDEF為正方形
∴CD=FE，∠DCO=∠EFO=90°，
∴在Rt△DOC和Rt△EOF中：

∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF．（4分）

（2）解：連接OH，設正方形FGHK的邊長為x．（5分）
由已知及（1）可得EF=2，OF=1．
在Rt△OEF中，OE²=OF²+EF²=1²+2²=5．（6分）
在Rt△OHG中，OH²=OG²+GH²，OE=OH，
∴5=（1+x）²+x²．（7分）
整理得x²+x-2=0．
解得x₁=-2（不合題意，舍去），x₂=1．（8分）
∴x²=1
∴正方形FGHK的面積為1．（9分）
點評：證明兩條線段相等的問題可以轉化為證明三角形全等．