Question

如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G．
（1）求證：EF=EG；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，點E與點A重合，易證得ED=EB，∠D=∠EBG=90°，又由∠GEF=90°，利用同角的余角相等，即可得∠BEG=∠DEF，然后利用ASA即可判定△BEG≌△DEF，則可證得EF=EG；
（2）首先過點E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，易證得四邊形EKCH是正方形，同（1）即可證得△GEK≌△FEH，證得EF=EG．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，點E與點A重合，
∴ED=EB，∠D=∠EBG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°，
∴∠BEG=∠DEF，
在△BEG和△DEF中，
，
∴△BEG≌△DEF（ASA），
∴EF=EG；

（2）成立．理由：
解：過點E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，
∴∠EHC=∠EKC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠HCE=45°，
∴四邊形EKCH是矩形，∠HEC=∠HCE=45°，
∴EH=CH，
∴四邊形EKCH是正方形，
∴EH=EK，∠EHF=∠EKG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°，
∴∠GEK=∠FEH，
在△GEK和△FEH中，
，
∴△GEK≌△FEH（ASA），
∴EF=EG．
點評：此題考查了正方形的判定與性質與全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．