Question

【題目】如圖1，拋物線：與：相交于點O、C，與分別交x軸于點B、A，且B為線段AO的中點．

（1）求的值；

（2）若OC⊥AC，求△OAC的面積；

（3）拋物線C2的對稱軸為l，頂點為M，在（2）的條件下：

①點P為拋物線C2對稱軸l上一動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

②如圖2，點E在拋物線C2上點O與點M之間運動，四邊形OBCE的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②E（，），．

【解析】

試題分析：（1）由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點的坐標，利用B為OA的中點可得到a和b之間的關系式；

（2）由拋物線解析式可先求得C點坐標，過C作CD⊥x軸于點D，可證得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性質可得到關于a的方程，可求得OA和CD的長，可求得△OAC的面積；

（3）①連接OC與l的交點即為滿足條件的點P，可求得OC的解析式，則可求得P點坐標；

②設出E點坐標，則可表示出△EOB的面積，過點E作x軸的平行線交直線BC于點N，可先求得BC的解析式，則可表示出EN的長，進一步可表示出△EBC的面積，則可表示出四邊形OBCE的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值，及E點的坐標．

試題解析：

（1）在y=x2+ax中，當y=0時，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，當y=0時，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∵B為OA的中點，∴b=﹣2a，∴；

（2）聯立兩拋物線解析式可得：，消去y整理可得，解得，，當時，，∴C（，），過C作CD⊥x軸于點D，如圖1，∴D（，0），∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴，∴CD2=ADOD，即，∴a1=0（舍去），（舍去），，∴OA=-2a=，CD==1，∴；

（3）①拋物線，∴其對稱軸，點A關于l2的對稱點為O（0，0），C（ ，1），則P為直線OC與l2的交點，設OC的解析式為y=kx，∴1=k，得k=，∴OC的解析式為，當時，，∴P（，）；

②設E（m，）（），則，而B（，0），C（ ，1），設直線BC的解析式為y=kx+b，由，解得：k= ，b=-2，∴直線BC的解析式為，過點E作x軸的平行線交直線BC于點N，如圖2，則，即x=

∴EN=

∴

∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC

，∵，∴當時，，當時，，∴E（，），．