Question

如圖，在邊長為l的小正方體組成的網格中，小正方體的頂點稱為格點，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在網格中確定一點D，使得

AB

=

CD

（只要畫出向量，不必寫作法）；
（2）若E為BC的中點，則tan∠CAE=

 

；
（3）在△ACD中，求∠CAD的正弦值．

Answer 1

分析：（1）首先根據平行四邊形法則，即可畫出圖形；
（2）延長AE到K，使得AK⊥CK，由tan∠CAE=

CK

AK

，即可求得答案；
（3）首先由AC=

52+22

=

29

，DC=

5

，AD=

32

，可得△ACD不是直角三角形，然后作DM⊥AC于M，利用三角形的面積求得AC邊上的高，繼而可求得∠CAD的正弦值．

解答：解：（1）如圖：點D即為所求；


（2）如圖：根據題意可知：
tan∠CAE=

CK

AK

=

2

5

．
故答案為：

2

5

；

（3）根據題意得：AC=

52+22

=

29

，DC=

5

，AD=

32

，
∴△ACD不是直角三角形，
作DM⊥AC于M，
S_△ADC=S_梯形AFNC-S_△AFD-S_△CND，
=

1

2

（AF+CN）•FN-

1

2

AF•DF-

1

2

DN•CN，
=

1

2

×（4+2）×5-

1

2

×4×4-

1

2

×2×1，
=6，
S_△ADC=

1

2

•AC•DM=

1

2

×

29

×DM=6，
∴DM=

12

29

，
在Rt△ADM中，sin∠CAD=

DM

AD

=

12

29

÷

32

=

3 58

58

．

點評：此題考查了平面向量的知識，三角函數以及三角形面積的求解方法等知識．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．