Question

（本題滿(mǎn)分12分）
已知直線(xiàn)（＜0）分別交軸、軸于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
①直接寫(xiě)出＝1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求的值．
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB的另一交點(diǎn)為D
（如圖2），①求CD的長(zhǎng)；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為，當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？

Answer 1

（1）①C（1，2），Q（2，0）．                         ……..2分
②由題意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，
分兩種情形討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB＝90°，3－t=t，∴t=1.5．
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB＝90°，t =2（－t＋3），∴t=2．
∴滿(mǎn)足條件的t的值是1.5秒或2秒．                        ……6分
(2) ①由題意得：C(t，－＋3)，∴以C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式是，
由，解得x₁=t，x₂=t；過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E
△DEC∽△AOB，∴， CD=．…….9分
②∵CD=，CD邊上的高=．∴S_△COD=．∴S_△COD為定值；
要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短．因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為。Rt△PCO∽Rt△OAB，∴，OP=，即t=，∴當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大．                     …….12分

解析