Question

如圖所示，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，連接AE、CG．
（1）觀察圖形，猜想AE與CG之間有怎樣的關系，并說明理由．
（2）若將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使正方形DEFG的一部分落在正方形ABCD的內部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，則題（1）中猜想的結論是否仍然成立？若成立，直接寫出結論，不必說明理由；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，然后由全等三角形的性質，即可證得AE=CG，AE⊥CG．
（2）首先根據題意畫出圖形，然后延長CG交AE于點H，交AD于點G，由四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，然后由全等三角形的性質，即可證得AE=CG，AE⊥CG．

解答：解：（1）AE=CG，AE⊥CG．
理由：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG ED=GD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠EAD=∠GCD，
∵∠AGH=∠CGD，
∴∠AHG=∠CDG=90°，
∴AE⊥CG；

（2）如圖2，AE=CG，AE⊥CG．
理由：如圖2，延長CG交AE于點H，交AD于點G，
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG ED=GD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠EAD=∠GCD，
∵∠AGH=∠CGD，
∴∠AHG=∠CDG=90°，
∴AE⊥CG．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及垂直的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．