Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（0，），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．
（1）當點A在y軸上時，求點C的坐標；
（2）當點A運動到y軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關系，并說明理由；
（3）當點A在y軸右側運動時，設點A的縱坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并寫出S的取值范圍；
（4）當直線AB與⊙O在第一象限內相切時，在坐標軸上是否存在一點P，使得以P、A、B、C為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分點A在y軸正半軸和負半軸兩種情況先求出AB的長，再根據等腰直角三角形的性質可得AC=AB，然后寫出點C的坐標即可；
（2）根據切線的定義判斷即可；
（3）過點A作AD⊥y軸于D，連接OA，利用勾股定理列式表示出AD²，再求出BD，利用勾股定理列式表示出AB²，然后根據等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的一半列式整理即可得解，然后根據一次函數的增減性求出S的取值范圍；
（4）連接OA，利用勾股定理列式求出AB，從而得到△ABO是等腰直角三角形，再求出點A、C的坐標，然后利用待定系數法求出直線AB、AC的解析式，再分①PC∥AB，②PA∥BC，③PB∥AC三種情況分別求出直線PC的解析式，求出與坐標軸的交點，即為點P的坐標．
解答：解：（1）當點A在y軸正半軸時，坐標為（0，1）時，
AB=AC=-1，
點C的坐標為（-1，1）；
當點A在y軸負半軸時，坐標為（0，-1）時，
AB=AC=+1，
點C的坐標為（+1，-1）；

（2）∵∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
又∵點A在y軸負半軸，且點A在⊙O上，
∴直線BC與⊙O相切；

（3）如圖，過點A作AD⊥y軸于D，連接OA，
根據勾股定理，AD²=OA²-OD²=1²-x²=1-x²，
∵BD=-x，
∴在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，
=（-x）²+（1-x²），
=2-2x+x²+1-x²，
=-2x+3，
∴等腰直角△ABC的面積為S=AB²=（-2x+3）=-x+，
即S=-x+，
∵-＜0，
∴S隨x的增大而減小，
又∵⊙O上的點A在y軸右側運動，點A的縱坐標為x，
∴-1＜x＜1，
∴-+＜S＜+；

（4）存在．
如圖，連接OA，∵直線AB與⊙O在第一象限內相切，
∴OA⊥AB，
∴AB===1，
∴OA=AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴點A（，），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴點C的坐標為（，），
易求直線AB的解析式為y=-x+，
直線AC的解析式為y=x，
①PC∥AB時，設直線PC的解析式為y=-x+b₁，
把C（，）代入得，-+b₁=，
解得b₁=2，
所以，直線PC的解析式為y=-x+2，
令y=0，則-x+2=0，
解得x=2，
此時，點P的坐標為P₁（2，0），
令x=0，則y=2，
此時，點P的坐標為P₂（0，2），
②PA∥BC時，點P的坐標為P₃（0，）；
③PB∥AC時，設直線PC的解析式為y=x+b₂，
把點B（0，）代入求得b₂=，
所以，直線PB的解析式為y=x+，
令y=0，則x+=0，
解得x=-，
此時，點P的坐標為P₄（-，0），
綜上所述，存在點P₁（2，0），P₂（0，2），P₃（0，），P₄（-，0）使得以P、A、B、C為頂點的四邊形是梯形．
點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了等腰直角三角形的性質，圓的切線的判定，勾股定理，三角形的面積，一次函數的增減性，梯形的判定，綜合性較強，難度較大，特別是（4）要分情況討論．