Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=4

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，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)．
（1）當(dāng)BP的長為

 

時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)P在BC邊上運(yùn)動的過程中，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當(dāng)P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（2）以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形．由（1）知，當(dāng)BP=11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．

解答：解：（1）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：
①當(dāng)P在E的左邊P′的位置時，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊P″的位置時，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)x的值為1或11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（2）由（1）知，當(dāng)BP=11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
∴EP=AD=5，
過D作DN⊥BC于N
則DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP=

DN2+NP2

=

42+32

=5，
∴EP=DP，
故此時?PDAE是菱形．
即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形．

點(diǎn)評：本題是一個開放性試題，利用梯形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識來解決問題，要求學(xué)生對于這些知識比較熟練，綜合性很強(qiáng)．