Question

（2010•盧灣區一模）已知正方形ABCD中，AB=5，E是直線BC上的一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交直線CD于點F．
（1）當E點在BC邊上運動時，設線段BE的長為x，線段CF的長為y，
①求y關于x的函數解析式及其定義域；
②根據①中所得y關于x的函數圖象，求當BE的長為何值時，線段CF最長，并求此時CF的長；
（2）當CF的長為時，求tan∠EAF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由題意易得△CEF∽△BAE，根據對應邊成比例，可得y關于x的函數解析式，根據BC的長確定定義域即可；
②用配方法求得二次函數的最值即可；
（2）因為tan∠EAF=EF：AE，則由①的函數解析式求得BE的值，由相似三角形對應邊對應成比例，即可求得EF：AE=CF：BE．
解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE．（1分）
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE（1分）
∴，
∴，
∴（0＜x＜5）；（2分）
②（1分）
根據函數圖象可知，拋物線，
開口向下，拋物線的頂點坐標是它的最高點、且在函數的定義域內．
所以當BE的長為時，CF的長最大為（2分）

（2）若E在邊BC上，CF=y=，
∴，
解得x₁=2，x₂=3，
當BE=2時，；
當BE=3，時．
若E在CB延長線上時，同理可得△CEF∽△BAE，
∴，即，
∴y=x²+x，
∵CF=y=，，
解得：x₁=1，x₂=-6（舍去），
當BE=1時，tan∠EAF=．
當E點可在BC的延長線上，CE=1，
tan∠EAF=．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質的應用、二次函數的最值求法、直角三角形中銳角函數值的求法等知識點．