Question

已知x₁，x₂是方程2x²-3x=1的兩根．
（1）求

1

x1

+

1

x2

，（x₁-3）（x₂-3）和（x₁-x₂）²的值；
（2）如果有個方程的兩根恰好分別是x₁，x₂的2倍，那么你會求這個方程嗎？

Answer 1

分析：（1）先把方程化為一般式，利用根與系數得關系得到得x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=-

1

2

，然后利用代數式變形得到

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

；（x₁-3）（x₂-3）=x₁•x₂-3（x₁+x₂）；
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，再分別利用整體代入的方法計算；
（2）新方程的兩根為2x₁，2x₂，再計算2x₁+2x₂，2x₁•2x₂，然后根據根與系數的關系寫出方程．

解答：解：（1）方程變形為2x²-3x-1=0，
根據題意得x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=-

1

2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3 2

- 1 2

=-3；
（x₁-3）（x₂-3）=x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=-

1

2

-3×

3

2

+9=4；
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

3

2

）²-4×（-

1

2

）=

17

4

；
（2）根據題意得新方程的兩根為2x₁，2x₂，
∵2x₁+2x₂=2（x₁+x₂）=2×

3

2

=3，2x₁•2x₂=4x₁•x₂=4×（-

1

2

）=-2，
∴所求新方程為x²-3x-2=0．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．