Question

（2005•烏魯木齊）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB為直徑的⊙O交AC于D，E是BC的中點，連接ED并延長交BA的延長線于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求DB的長；
（3）求S_△FAD：S_△FDB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD、DO，只要證明∠ODE=90°，OD是半徑，就可得到DE是⊙O的切線．
（2）根據△ADB∽△BDC，從而根據相似比不難求得BD的長．
（3）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方進行分析．
解答：（1）證明：連接BD，DO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E為BC的中點，
∴DE=EB=EC，∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵BC²=CD•AC，
∴CD=，AD=．
又∵△ADB∽△BDC，
∴BD²=AD•CD=•．
∴BD=．

（3）解：∵∠FDA=∠FBD，∠F=∠F，
∴△FDA∽△FBD，
∴S_△FAD：S_△FDB=．
點評：本題利用了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，切割線定理等知識點的綜合運用．