Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過圓上一點C作CD⊥AB于點D，點C是弧AF的中點，連接AF交CD于點E，連接BC交AF于點G．
（1）求證：AE=CE；
（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠B=∠CAE，再同角的余角相等證明∠B=∠ACE，進而得到∠CAE=∠ACE，最后利用等邊對等角可得到結論AE=CE；
（2）首先證明∠CGA=∠BCD，可得到△CEG是等邊三角形，進而得到CE=EG=AE=5，再根據ED：AD=3：4求出ED，AD的長，最后在△ACD中利用勾股定理求出AC的長即可．

解答：（1）證明：∵點C是弧AF的中點，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACE+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE …（6分）

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CGA=90°，
又∵∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CGA=∠BCD，
∵AG=10，
∴CE=EG=AE=5，
∵ED：AD=3：4，
∴AD=4，DE=3，
∴AC=

AD2+CD2

=

42+82

=4

5

…（10分）．

點評：此題主要考查了圓周角定理，等腰三角形與等邊三角形的判定，以及勾股定理的應用，解決此題的關鍵是證明∠CAE=∠ACE與CE=EG=AE．