Question

王老師正準備裝修新買房屋的地面，到一家裝修公司去看地磚，公司現有一批邊長相等的正多邊形瓷磚（如下圖）供用戶選擇．

（1）若王老師考慮只用其中一種正多邊形鋪滿地面，則供他選擇的正多邊形有哪些？
（2）若王老師考慮想從其中任取兩種來組合，能鋪滿地面的正多邊形組合有哪些？
（3）若王老師考慮從其中任取三種來組合，能鋪滿地面的正多邊形組合有哪些？
（4）你能說出其中所蘊含的數學道理嗎？

Answer 1

解：（1）正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，是360°的約數，能鑲嵌平面；
正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，是360°的約數，能鑲嵌平面；
正六邊形的一個內角度數為180-360÷6=120°，是360°的約數，能鑲嵌平面；
正八邊形的一個內角度數為180-360÷8=135°，不是360°的約數，不能鑲嵌平面；
正十二邊形的一個內角度數為180-360÷12=150°，不是360°的約數，不能鑲嵌平面；
∴供他選擇的正多邊形有正三角形，正方形，正六邊形；

（2）正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，3×60+2×90=360°，∴3個正三角形和2個正方形可進行密鋪；
正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，正六邊形的一個內角度數為180-360÷6=120°，2×60+2×120=360°或4×60+120=360°，可作平面鑲嵌；
正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，正八邊形的一個內角度數為180-360÷8=135°，任意若干個不能組成平面鑲嵌；
正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，正十二邊形的一個內角的度數為180-360÷12=150°，2×150+60=360°，可作平面鑲嵌；
正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，正六邊形的一個內角度數為180-360÷6=120°，任意若干個兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，正八邊形的一個內角度數為180-360÷8=135°，1×90+2×135=360°，可作平面鑲嵌；
正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，正十二邊形的一個內角的度數為180-360÷12=150°，任意若干個兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
正六邊形的一個內角度數為180-360÷6=120°，正十二邊形的一個內角的度數為180-360÷12=150°，任意若干個兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
正八邊形的一個內角度數為180-360÷8=135°，正十二邊形的一個內角的度數為180-360÷12=150°，任意若干個兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
從其中任取兩種來組合，能鋪滿地面的正多邊形組合有正三角形和正方形；正三角形和正六邊形；正三角形和正十二邊形；正方形和正八邊形；

（3）正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，正六邊形的一個內角度數為180-360÷6=120°，正十二邊形的一個內角的度數為180-360÷12=150°，那么一個正方形，一個正六邊形，一個正十二邊形可組成平面鑲嵌；
正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，正十二邊形的一個內角的度數為180-360÷12=150°，那么2個正三角形，一個正方形，1個正十二邊形可組成平面鑲嵌；
正三角形的一個內角度數為180-360÷3=60°，正方形的一個內角度數為180-360÷4=90°，正六邊形的一個內角度數為180-360÷6=120°，那么1個正三角形，2個正方形，1個正六邊形可組成平面鑲嵌；
∴從其中任取三種來組合，能鋪滿地面的正多邊形組合有：正三角形，正方形，正十二邊形，或正方形，正六邊形，正十二邊形或正三角形，正方形，正六邊形．
（4）能鋪滿地面的多邊形在一個頂點處的各角的和為360°．
分析：（1）看哪個正多邊形的一個內角的度數是360°的約數，就能鑲嵌平面；
（2）求得正多邊形相應的一個內角的度數，分別選取各種2種圖形的組合，找到同一頂點處的若干個內角度數相加為360°的組合即可；
（3）求得正多邊形相應的一個內角的度數，分別選取各種3種圖形的組合，找到同一頂點處的若干個內角度數相加為360°的組合即可；
（4）蘊含的數學道理為：能鋪滿地面的多邊形在一個頂點處的角的和為360°．
點評：一種或多種正多邊形組成平面鑲嵌，一個頂點處的各個角的和，應等于360°．