Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =

∴拋物線的解析式為y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,

∴頂點D的坐標為 (, -).

（2）當x = 0時y = -2,       ∴C（0，-2），OC = 2。

當y = 0時，  x²-x-2 = 0，      ∴x₁ = -1, x₂ = 4,     ∴B (4,0)

∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².                ∴△ABC是直角三角形.

（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m =．

解法二：設直線C′D的解析式為y = kx + n ,

則，解得n = 2,  .

∴ .2

∴當y = 0時， ，

 .     ∴.