Question

如圖，已知sin∠ABC=，⊙O的半徑為2，圓心O在射線BC上，⊙O與射線BA相交于E、F兩點，EF=．
（1）求BO的長；
（2）點P在射線BC上，以點P為圓心作圓，使得⊙P同時與⊙O和射線BA相切，求所有滿足條件的⊙P的半徑．

Answer 1

解：（1）連接EO，過點O作OH⊥BA于點H．
∵EF=，∴EH=．
∵⊙O的半徑為2，即EO=2，
∴OH=1．在Rt△BOH中，
∵sin∠ABC=，
∴BO=3．

（2）當⊙P與直線相切時，過點P的半徑垂直此直線．
（a）當⊙P與⊙O外切時，
①⊙P與⊙O切于點D時，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=，得到：；
②⊙P與⊙O切于點G時，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC==，得到：．
（b）當⊙P與⊙O內切時，
①⊙P與⊙O切于點D時，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=，得到：；
②⊙P與⊙O切于點G時，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=，得到：．
綜上所述：滿足條件的⊙P的半徑為、、、
分析：（1）連接EO，過點O作OH⊥BA于點H．利用垂徑定理構造直角三角形求得OH，然后利用告訴的∠B的正弦值求得OB；
（2）⊙P同時與⊙O和射線BA相切應分兩種情況分類討論：①當⊙P與⊙O外切；②當⊙P與⊙O內切．
點評：本題綜合考查了直線與圓相切和兩圓相切的知識，對學生建立系統的與圓相切有關的知識體系有很好的促進作用．