Question

如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；
（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．
①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標；
②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=（x+1）²+k與y軸交于點C（0，-3），即可將點C的坐標代入函數解析式，解方程即可求得k的值，由拋物線y=（x+1）²+k即可求得拋物線的對稱軸為：x=-1；
（2）連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AC的解析式，則可求得此時點P的坐標；
（3）①設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），即可得S_△AMB=×4×|（x+1）²-4|，由二次函數的最值問題，即可求得△AMB的最大面積及此時點M的坐標；
②設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），然后過點M作MD⊥AB于D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD，根據二次函數的最值問題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=（x+1）²+k與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為：直線x=-1；

（2）存在．
連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，
當y=0時，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左側，
∴A（-3，0），B（1，0），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為：y=-x-3，
當x=-1時，y=-（-1）-3=-2，
∴點P的坐標為：（-1，-2）；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），
∵AB=4，
∴S_△AMB=×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵點M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴當x=-1時，
即點M的坐標為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），
過點M作MD⊥AB于D，
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=×3×1+×（3+x）×[4-（x+1）²]+×（-x）×[3+4-（x+1）²]
=-（x²+3x-4）=-（x+）²+，
∴當x=-時，y=（-+1）²-4=-，
即當點M的坐標為（-，-）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的最值問題，三角形與四邊形的面積問題以及線段和最短問題等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．