Question

（2008•義烏）如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點A的落點記為P．
（1）當AE=5，P落在線段CD上時，PD=______；
（2）當P落在直角梯形ABCD內部時，PD的最小值等于______

Answer 1

【答案】分析：（1）作CS⊥AB于點S，EG⊥DC，交于DC延長線于點G，利用矩形的性質有AD=CS=GE=4，CD=AS=4，結合Rt△PGE，由折疊的性質知PE=AE=5，由勾股定理得出相關的線段的長度，即可求得DP的長；
（2）當點P落在梯形的內部時，∠P=∠A=90°，四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內接四邊形，只有當直徑EF最大時，且點A落在BD上時，PD最小，此時E與點B重合，由勾股定理得BD的長，從而求得PD=4-8．
解答：解：（1）過P作PG⊥AB于G，則四邊形DAGP是矩形，PG=DA=4，
∵PE=AE=5，
∴GE===3，
∴PD=AG=AE-GE=5-3=2；

（2）連接ED，作P₁P⊥ED于P，
那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故當點A的對稱點P落在線段ED上時，PD有最小值，（左圖）
而E在線段AB上，
故當E與B重合時，即EP=BP，此時PD取最小值．（右圖）
此時，AB=BP=8，又BD==4，
∴PD=BD-BP=．

點評：本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理求解．