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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過ABC的三個頂點,與y軸相交于(0,),點A坐標為(1,2),點B是點A關于y軸的對稱點,點C在x軸的正半軸上.

(1)求該拋物線的函數關系表達式.

(2)點F為線段AC上一動點,過F作FEx軸,FGy軸,垂足分別為E、G,當四邊形OEFG為正方形時,求出F點的坐標.

(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動,設平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在請說明理由.

【答案】(1)y=x2+;(2)(1,1);(3)當DMN是等腰三角形時,t的值為,3或1.

【解析】

試題分析:(1)易得拋物線的頂點為(0,),然后只需運用待定系數法,就可求出拋物線的函數關系表達式;

(2)當點F在第一象限時,如圖1,可求出點C的坐標,直線AC的解析式,設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p),代入直線AC的解析式,就可求出點F的坐標;當點F在第二象限時,同理可求出點F的坐標,此時點F不在線段AC上,故舍去;

(3)過點M作MHDN于H,如圖2,由題可得0t2.然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2,分三種情況(DN=DM,ND=NM,MN=MD)討論就可解決問題.

試題解析:(1)點B是點A關于y軸的對稱點,

拋物線的對稱軸為y軸,

拋物線的頂點為(0,),

故拋物線的解析式可設為y=ax2+

A(1,2)在拋物線y=ax2+上,

a+=2,

解得a=

拋物線的函數關系表達式為y=x2+

(2)當點F在第一象限時,如圖1,

令y=0得,x2+=0,

解得:x1=3,x2=3,

點C的坐標為(3,0).

設直線AC的解析式為y=mx+n,

則有

解得

直線AC的解析式為y=x+

設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p).

點F(p,p)在直線y=x+上,

∴﹣p+=p,

解得p=1,

點F的坐標為(1,1).

當點F在第二象限時,

同理可得:點F的坐標為(3,3),

此時點F不在線段AC上,故舍去.

綜上所述:點F的坐標為(1,1);

(3)過點M作MHDN于H,如圖2,

則OD=t,OE=t+1.

點E和點C重合時停止運動,0t2.

當x=t時,y=t+,則N(t,t+),DN=t+

當x=t+1時,y=(t+1)+=t+1,則M(t+1,t+1),ME=t+1.

在RtDEM中,DM2=12+(t+1)2=t2t+2.

在RtNHM中,MH=1,NH=(t+t+1)=

MN2=12+(2=

當DN=DM時,

t+2=t2t+2,

解得t=

當ND=NM時,

t+=

解得t=3

當MN=MD時,

=t2t+2,

解得t1=1,t2=3.

0t2,t=1.

綜上所述:當DMN是等腰三角形時,t的值為,3或1.

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