Question

（1）計算：2^-1+2007⁰++tan45°；
（2）化簡求值：，其中x=．
（3）在數學上，對于兩個數p和q有三種平均數，即算術平均數A、幾何平均數G、調和平均數H，其中A=，G=．而調和平均數中的“調和”二字來自于音樂，畢達哥拉斯學派通過研究發現，如果三根琴弦的長度p=10，H=12，q=15滿足-=-，再把它們繃得一樣緊，并用同樣的力彈撥，它們將會分別發出很調和的樂聲．我們稱p、H、q為一組調和數，而把H稱為p和q的調和平均數．
①若p=2，q=6，則A=______，G=______．
②根據上述關系，用p、q的代數式表示出它們的調和平均數H；并根據你所得到的結論，再寫出一組調和數．

Answer 1

解：（1）原式=+1++1，
=+1+-1+1，
=+；

（2）原式=•（x+1）（x-1），
=x（x+1），
=x²+x，
當x=時，原式=（）²+=；

（3）①A==4；G==2；
故答案為4，2；
②-=-，
∴=+，
∴H=，
3、4、9就為一組調和數．
分析：（1）根據a⁰=1（a≠0）和負整數指數的意義以及特殊角的三角函數值進行計算；
（2）先同分和因式分解得到原式=x²+x，然后代值計算；
（3）根據題目中的概念易得到A==4；G==2；-=-，整理得到H=，然后任意取p，q的值，通過計算得到H，這樣就可得到一組調和數．
點評：本題考查了分式的化減求值：先把分式各分母和分子因式分解，再進行約分，然后把符合條件的字母的值代入進行計算．也考查了a⁰=1（a≠0）和負整數指數的意義以及特殊角的三角函數值；閱讀理解題的解法．