Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，圓心O₁在⊙O₂上，過B點作兩圓的割線CD，射線DO₁交
AC于E點．求證：DE⊥AC．

Answer 1

分析：方法一：首先連接AB、作圓O₁的直徑AF，連接FB，利用圓周角定理得出∠BAF+∠AFB=90°，進而求出∠C+∠EDB=90° 即可．
方法二：首先連接AD，AO₁，CO₁，BO₁；由于A，B，D，O₁四點共圓，根據圓內接四邊形的性質知可證得△CDO₁≌△ADO₁，則AD=CD，DE為等腰△ACD的頂角平分線；由等腰三角形的性質：頂角的平分線與底邊上的高重合，進而得出答案．

解答：方法一：
證明：如圖：
連接AB、作圓O₁的直徑AF，連接FB，
∵AF為直徑
∴∠BAF+∠AFB=90°
∵∠C=∠F，∠FAB=∠EDB
∴∠C+∠EDB=90°
∴DE⊥AC
方法二：
證明：如圖：

連接AD，AO₁，CO₁，BO₁；
∵AO₁=BO₁，
∴弧AO₁=弧BO₁，∠ADO₁=∠BDO₁；
在⊙O₁中，CO₁=BO₁，
∴∠O₁CB=∠O₁BC；
∵A，B，D，O₁四點共圓，
∴∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
在△CDO₁和△ADO₁中

∠O1DC=∠O1DA ∠DCO1=∠DAO1 DO1=DO1

，
∴△CDO₁≌△ADO₁；
∴AD=CD，∠ADO₁=∠CDO₁；
∴DE⊥AC．

點評：本題主要考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，綜合性較強，難度較大．