Question

【題目】如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B。P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點C。過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N。

（1）當點C在第一象限時，求證：△OPM≌△PCN；

（2）當點C在第一象限時，設AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰直角三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）

（3）使△PBC為等腰三角形的的點P的坐標為（0，1）或（,1－）

【解析】解：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，

　　∴四邊形OBNM為矩形。

　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

　　∵，AO=BO=1，

　　∴AM=PM。

　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

　　∴OM=PN，　　∵∠OPC=900，

　　∴∠OPM+CPN=900，

　　又∵∠OPM+∠POM=900　　∴∠CPN=∠POM，

　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（2）∵AM=PM=APsin450= ，

　　∴NC=PM= ，∴BN=OM=PN=1- ；

　　∴BC=BN-NC=1- - =

　　

　　（3）△PBC可能為等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）

　　②當點C在第四象限，且PB=CB時，

　　有BN=PN=1－，　　∴BC=PB=PN=-m，

∴NC=BN+BC=1－+-m，

　　由⑵知：NC=PM= ，

　　∴1－+-m= ，　　∴m=1.　　　　　　　　　

　　∴PM= =，BN=1－=1－，　　∴P（,1－）.

∴使△PBC為等腰三角形的的點P的坐標為（0，1）或（,1－）