Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若矩形EFMN的頂點F、M在位于x軸上方的拋物線上，一邊EN在x軸上（如圖2）．設點E的坐標為（x，0），矩形EFMN的周長為L，求L的最大值及此時點E的坐標；
（3）在（2）的前提下（即當L取得最大值時），在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使△PMN沿直線PN折疊后，點M剛好落在y軸上？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用交點式假設出二次函數解析式，求出即可；
（2）利用L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），有二次函數的最值求法得出答案；
（3）首先設存在滿足條件的點P（1，y），進而利用勾股定理得出PM²+PN²=MN²，即可得出y的值，進而得出P點坐標．
解答：（1）解：由題意可設拋物線為y=a（x+1）（x-3），
拋物線過點（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3），
即：y=-x²+2x+3；

（2）解：由（1）得拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵E（x，0），
∴F（x，-x²+2x+3），EN=2（1-x），
∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），
化簡得  l=-2x²+10，
∵-2＜0，
∴當x=0時，L取得最大值是10，
此時點E的坐標是（0，0）；

（3）解：由（2）得：E（0，0），F（0，3），M（2，3），N（2，0），
設存在滿足條件的點P（1，y），
并設折疊后點M的對應點為M₁，
∴∠NPM=∠NPM₁=90°，PM=PM₁，
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴（3-y）²+1²+y²+1²=3²，
解得：，，
∴點P的坐標為（1，）或（1，），
當點P的坐標為（1，）時，
連接PC，
∵PG是CM的垂直平分線，
∴PC=PM，
∵PM=PM₁，∴PC=PM=PM₁，
∴∠M₁CM=90°，
∴點M₁在y軸上，
同理可得當點P的坐標為（1，）時，點M₁也在y軸上，
故存在滿足條件的點P，點P的坐標為（1，）或（1，）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理以及二次函數的最值，利用數形結合得出P點坐標特點以及∠NPM=∠NPM₁=90°是解題關鍵．