Question

已知函數y₁=px+q和y₂=ax²+bx+c的圖象交于A（1，-1）和B（3，1）兩點，拋物線y₂與x軸交點的橫坐標為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2．
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）設y₂與y軸交點為C，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）將A、B兩點坐標代入函數y₁=px+q中，得，解得，
∴函數y₁=x-2，
由根與系數關系，得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
∵|x₁-x₂|=2，∴（x₁-x₂）²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8，b²-4ac=8a²，
將A、B兩點坐標代入函數y₂=ax²+bx+c中，得，解得或，
∴函數y₂=x²-x-或y₂=-x²+3x-；
（2）當y₂=x²-x-時，C（0，-），
S_△ABC=×（1+3）×2-×3×（1+）-×1×=；
當y₂=-x²+3x-時，C（0，-），
S_△ABC=×（1+）×3-×（1+3）×2-×1×（-1）=．
分析：（1）將A、B兩點代入函數y₁=px+q中，可求函數解析式，將A、B代入y₂=ax²+bx+c中，再利用根與系數關系，列方程組求y₂的函數關系式；
（2）根據A、B、C三點坐標，利用組合圖形求三角形的面積．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據條件列方程組求函數解析式，利用組合圖形求三角形的面積．