Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于E，D是AE延長線上一點，且∠BDC=120°．下列結論：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠DBE=∠DCE．其中正確結論的個數為(　　)

A．0        B．1        C．2        D．3

Answer 1

D．

詳解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°－60°=120°，
∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=60°，
∴∠BEC=180°－(∠EBC+∠ECB)=180°－60°=120°，故①正確；
如圖，過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長線于G，

∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴AD為∠BAC的平分線，∴DF=DG，
∴∠FDG=360°－90°×2－60°=120°，
又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，∠BFD=∠CGD=90°，DF=DG，∠BDF=∠CDG，
∴△BDF≌△CDG(ASA)，∴DB=CD，∴∠DBC=(180°－120°)=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，
根據三角形的外角性質，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE，故②正確；
∵DB=DE=DC，∴∠DBE=∠DCE，故③正確；
綜上所述，正確的結論有①②③共3個．故選D．