Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點M從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設△MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數關系，并求S的最大值；
（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．

∴A（﹣2，0），

把點A（﹣2，0）、B（4，0）、點C（0，3），分別代入y=ax2+bx+c（a≠0），得

，解得 ，

所以該拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

由題意得，點C的坐標為（0，3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如圖1，過點N作NH⊥AB于點H．

∴NH∥CO，

∴△BHN∽△BOC，

∴ ，即 = ，

∴HN= t．

∴S△MBN= MBHN= （6﹣3t） t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，

當△PBQ存在時，0＜t＜2，

∴當t=1時，

S△PBQ最大= ．

答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

（3）

解：如圖2，

在Rt△OBC中，cos∠B= = ．

設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

當∠MNB=90°時，cos∠B= = ，即 = ，

化簡，得17t=24，解得t= ，

當∠BMN=90°時，cos∠B= = ，

化簡，得19t=30，解得t= ，

綜上所述：t= 或t= 時，△MBN為直角三角形．

【解析】（1）把點A、B、C的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b、c的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數關系式S△MBN=﹣ （t﹣1）2+ ．利用二次函數的圖象性質進行解答；（3）根據余弦函數，可得關于t的方程，解方程，可得答案．