Question

如圖甲，在平面直角坐標系中，Rt△AOB≌ Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），拋物線y=ax²+ax-2經 過點C。
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線（對稱軸的右側）上是否存在兩點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點P、Q的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖乙，E為BC延長線上一動點，過A、B、E三點作⊙O′，連接AE，在⊙O′上另有一點F，且AF=AE，AF交BC于點G，連接BF，下列結論：①BE+BF的值不變；②，其中有且只有一個成立，請你判斷哪一個結論成立，并證明成立的結論。

甲                                                       乙

Answer 1

解：（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3，CD=1， ∴C點坐標為（-3，1）， ∵拋物線經過點C， ∴1=（-3）2a+（-3）a-2， ∴a=， ∴拋物線的解析式為；
（2）在拋物線（對稱軸的右側）上存在點P，Q，使四邊形ABPQ是正方形， 如圖甲，以AB為邊在AB的右側作正方形ABPQ，過P作PE⊥OB于E，QG⊥x軸于G，可證△PBE≌△AQG≌△BAO， ∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1， ∴P點坐標為（2，1），Q點坐標為（1，-1）， 由（1）拋物線得， 當x=2時，y=1； 當x=1時y=-1， ∴P，Q在拋物線上， 故在拋物線（對稱軸的右側）上存在點P（2，1），Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形；	甲
（3）結論②成立， 證明如下： 如圖乙連EF，過F作FM∥BC交AB的延長線于M，則△AMF∽△ABG， ∴ 由（1）知△ABC是等腰三角形， ∴∠1=∠2=45°， ∵AF=AE， ∴∠AEF=∠1=45°， ∴∠FAF=90°， EF是⊙O′的直徑， ∴∠EBF=90°， ∵ FM//BG， ∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°， ∴BF=MF， ∴。	乙